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Gauß-Seidel-Methode

Gauß-Seidel-Methode wird verwendet, um die Gleichungen des linearen Systems zu lösen. Diese Methode wurde nach dem deutschen Wissenschaftler Carl Friedrich Gauß und Philipp Ludwig Siedel benannt. Es ist eine Iterationsmethode, um n lineare Gleichung mit den unbekannten Variablen zu lösen. Diese Methode ist sehr einfach und wird in digitalen Computern für die Datenverarbeitung verwendet.

Die Gauß-Seidel-Methode ist die Modifikation vondie Gauß-Iterationsmethode.Diese Modifikation reduziert die Anzahl der Iterationen. Bei diesen Methoden verringert der Wert von unknown die Anzahl der Iterationen sofort, der berechnete Wert ersetzt den früheren Wert nur am Ende der Iteration. Deshalb konvergieren die Gauß-Seidel-Methoden viel schneller als die Gauß-Methoden. Bei Gauß-Seidel-Verfahren erfordert die Anzahl der Iterationsverfahren, dass die Lösung viel geringer ist als im Gauß-Verfahren.

Lassen Sie uns die Gauß-Seidel-Methode anhand eines Beispiels verstehen. Betrachten Sie den Gesamtstrom in kth Bus eines 'n' Bussystems ist durch die untenstehende Gleichung gegeben.

Gauss-Seidel-eq-1

Die komplexe Energie, die in das k injiziert wirdth Bus ist als angegeben

Gauss-Seidel-eq-2

Das komplexe Konjugat der obigen Gleichung wird

Gauss-Seidel-eq-3

Eliminierung von Ichk aus der Gleichung (1) und (4) ergibt sich

Gauss-Seidel-eq-4

Daher kann die Spannung an einem beliebigen Bus „k“ sein, wenn Pk und Qk angegeben sind, ergibt sich aus der unten angegebenen Gleichung.

Gauss-Seidel-eq-5

Die oben gezeigte Gleichung (6) ist der Hauptteil des iterativen Algorithmus.

Am Bus 2 wird die Gleichung

Gauss-Seidel-eq-6

Am Bus 3 wird die Gleichung

Gauss-Seidel-eq-7

Nun zum kth Bus, die Spannung am (r + 1)th Iteration wird durch die unten gezeigte Gleichung gegeben.

Gauss-Seidel-eq-8

In der obigen Gleichung sind die Mengen Pk, Qk, Ykk Andyki sind bekannt und variieren während des Iterationszyklus nicht.

Nun ist der Wert von Ck und dk sind unten gezeigt, die zu Beginn berechnet werden und in jedem Iterationsschritt verwendet werden.

Gauss-Seidel-eq-9

Für die kth Bus, die Spannung am (r + 1) th Iteration kann wie folgt geschrieben werden.

Gauss-Seidel-eq-10

Beschleunigungsfaktoren bei der Gauß-Seidel-Methode

In der Gauß-Seidel-Methode wird eine große Anzahl vonDie Iteration ist erforderlich, um die angegebene Konvergenz zu erreichen. Die Konvergenzrate kann durch Verwendung des Beschleunigungsfaktors der nach jeder Iteration erhaltenen Lösung erhöht werden. Der Beschleunigungsfaktor ist ein Multiplikator, der die Korrektur zwischen den Spannungswerten in zwei aufeinanderfolgenden Iterationen verbessert.

Betrachten wir den Beschleunigungsfaktor für das ith Bus.

  • Vich(r) ist der Wert der Spannung am rth Iteration.
  • Vich(r + 1) ist der Wert der Spannung an (r + 1)th Iteration.
  • Vich (beschleunigt)(r + 1) ist der beschleunigte neue Wert der Spannung bei (r + 1) th Iteration.
  • r ist die Iterationszahl
  • α ist der Beschleunigungsfaktor

Dann,

Gauss-Seidel-eq-11

Nach der Berechnung von Vich(r + 1) bei (r + 1)th Iteration berechnen wir den Wert der neuen geschätzten Busspannung Vich (beschleunigt)(r + 1) und dieser neue Wert ersetzt den zuvor berechneten Wert. Für reale und imaginäre Komponenten der Spannung werden unterschiedliche Beschleunigungsfaktoren verwendet.

Wenn Vich wird in reale und imaginäre Komponenten aufgelöst

Gauss-Seidel-eq-12

Wenn α und β der mit a verbundene Beschleunigungsfaktor sindich und Bich dann wird die Gleichung wie unten gezeigt.

Gauss-Seidel-eq-13

Die Wahl eines bestimmten Wertes des Beschleunigungsfaktors hängt von den Systemparametern ab. Der optimale Wert von α liegt für die meisten Systeme üblicherweise im Bereich von 1,2 bis 1,6.

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